Задача 1. (Олимпиада Физтех-лицея, 2015, 8) В системе, приведённой на рисунке, масса первого груза равна m, масса второго в a = 2 раза больше, а масса третьего в b = 3 раза меньше. Масса рычага равна M = 18 кг. Чему равна масса m, если система находится в равновесии? Ответ выразить в кг, округлив до десятых.

Задача 2. («Росатом», 2018, 8–10) Из 34 одинаковых стержней длиной a и массой m изготовлены макеты двух чисел 238 и 328 (каждое «звено» каждой цифры — один стержень). Макеты чисел расположили на коромысле равноплечих весов длиной 20a так, как это показано на рисунке. Какое из чисел перевесит и почему? Какой дополнительный груз нужно расположить на другом конце коромысла весов, чтобы восстановить равновесие?

Задача 3. («Максвелл», 2017, финал, 7) Однородная соломинка массой M = 1 г лежит горизонтально на двух ветках, которые делят её на участки длиной l₁ = 6 см, l₂ = 8 см и l₃ = 10 см. Два небольших жука с массами m₁ = 5 г и m₂ = 2 г, сидевших на концах соломинки, одновременно начали движение навстречу друг другу со скоростями v₁ = 1 см/с и v₂ = 4 см/с (рис.). 1) Найдите силы реакции веток N₁ и N₂, которые действовали на соломинку до старта жуков, если g = 10 Н/кг. 2) Через какое время tк после старта соломинка опрокинется, если скольжение между соломинкой и ветками отсутствует? 3) Какой должна быть масса соломинки M₀, чтобы жуки всё-таки встретились?

Задача 4. Мостовой кран, вес которого P = 2?10⁴ H, имеет пролет L = 26 м (рис.). Трос, на котором подвешен груз, находится на расстоянии l = 10 м от одного из рельсов. Определить силы давления крана на рельсы, если он поднимает груз весом P₀ = P.

Задача 5. (Всеросс., 2016, МЭ, 8) По длинной прямой однородной палочке слева направо со скоростью u ползёт маленькая улитка и катит перед собой лёгкий маленький шарик. Масса улитки m, а палочки — M. Концы палочки опираются на две вертикальные пружины, расстояние между которыми L. Жёсткость левой пружины k, а правой — 2k. Длины пружин в недеформированном состоянии одинаковы, а их нижние концы закреплены на одном горизонтальном уровне. В начальный момент улитка находится на левом крае палочки, над левой пружиной (см. рисунок). Определите, спустя какое время от начала движения улитки шарик начнёт скатываться по палочке в сторону правой пружины. Можно считать, что жёсткости пружин настолько велики, что угол наклона палочки всегда достаточно мал.

Задача 1. (МФО, 2006, 7) Провода над железной дорогой, питающие током электропоезда, натягиваются с помощью системы, показанной на рисунке. Она крепится к столбу и состоит из тросов, блоков с изоляторами и стального груза квадратного сечения со стороной a = 20 см. Сила натяжения толстого троса, который идёт от крайнего блока к держателю проводов, равна T = 8 кН. Какова высота h стального груза? Плотность стали равна ?_с = 7800 кг/м³. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Задача 2. (Всеросс., 2018, ШЭ, 9) Система, состоящая из двух однородных стержней разной плотности, находится в равновесии. Масса верхнего стержня m₁ = 3,6 кг. Трение пренебрежимо мало. Определите, при какой массе m₂ нижнего стержня возможно такое равновесие.

Задача 3. (МОШ, 2013, 9) На рисунке изображён легкий горизонтальный жёсткий стержень длиной 3a, к которому на расстояниях a и 2a от одного из концов прикреплены вертикальные нити, перекинутые через блоки. К противоположным концам нитей прикреплены грузы массами m₁ и m₂. К концам стержня прикреплены грузы массами m₃ и m₄. Известно, что m₁ = 1 кг и m₃ = 2 кг. Какими должны быть массы m₂ и m₄, чтобы система находилась в равновесии?

Задача 4. (Всеросс., 2014, РЭ, 9) Доска массой m лежит, выступая на 3/7 своей длины, на краю обрыва. Длина одной седьмой части доски L = 1 м. К свисающему краю доски с помощью невесомых блоков и нитей (см. рисунок) прикреплён противовес, имеющий массу 4m. На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой 3m, чтобы доска оставалась горизонтальной?

Задача 5. (Всеросс., 2015, МЭ, 8–10) В системе, изображённой на рисунке, блоки, нить и стержень невесомы. Правый блок в два раза больше по размеру, чем другие два. Участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. На крючок повесили груз некоторой массы, при этом система осталась неподвижна. Определите, чему равно отношение x/r.

Задача 1. (МФО, 2009, 8) Так называемый «китайский ворот» представляет собой два цилиндрических вала радиусами r и R, насаженных на общую ось, закреплённую горизонтально (на рисунке показан вид сбоку). На валы в противоположных направлениях намотана верёвка, на которой висит подвижный блок такого радиуса, что свободные участки верёвки практически вертикальны. К оси блока прикреплен груз массой m. Ворот снабжён ручкой, конец которой находится на расстоянии 2R от оси ворота. 1) Ворот вращают за ручку так, что он делает n оборотов в секунду. С какой скоростью при этом движется груз, если верёвка нигде не проскальзывает? 2) Какую силу необходимо прикладывать к концу ручки ворота для того, чтобы равномерно поднимать груз, если верёвка и блок очень лёгкие, а трения нет?

Задача 2.Ф1333. Ведро с водой свисает с ворота колодца, тяжелая ручка ворота находится в нижнем положении (рис.). Если ведро отпустить, оно начнет двигаться и достигнет дна колодца. Подберем количество воды таким, чтобы при его уменьшении ведро при движении не достигало дна. При каком положении ручки ворота система в этом случае может находиться в равновесии? Веревку считайте легкой. Трением можно пренебречь.

Задача 3.Ф431. В дифференциальном вороте, схематически изображенном на рисунке, используется цепь, каждый метр которой содержит Nзвеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые продеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет nзубцов, а шкив меньшего диаметра n– 1. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза, отличаются в kраз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найдите эти силы.

Задача 4.11.9. Катушку поставили в угол и начали тянуть вниз за намотанную на нее нитку (см. рисунок). Коэффициент трения катушки о пол и стену одинаков. При каком коэффициенте трения она не сможет вращаться? Радиус большого обода катушки равен R, малого - r.

Задача 5. (Всеросс., 2002, ОЭ, 11) Катушка массой M с намотанной на неё лёгкой нитью стоит на горизонтальном столе и упирается в два гвоздя, вбитых вертикально в стол. Один конец нити закреплён на катушке, а к свободному концу нити, свешивающемуся в прорезь стола, привязан груз (рис.). При каких значениях массы m груза система будет в равновесии? Радиус барабанов катушки R, радиус намотки нити r. Коэффициент трения катушки о гвозди µ₁, коэффициент трения катушки о поверхность стола µ₂.

Задача 1. Два шарика массами 3 кг и 5 кг скреплены стержнем массой 2 кг. Определите положение общего центра масс, если радиус первого шара 5 см, второго 7см, длина стержня 30 см.

Задача 2. («Курчатов», 2014, 9–10) На гладком льду лежит однородная доска длиной l = 2 м. К одному из концов доски привязали верёвку и стали медленно тянуть её вверх. Когда угол между доской и поверхностью льда стал равен 60⁰, вертикально натянутая верёвка оборвалась. На какое расстояние сместится при падении доски её нижний конец?

Задача 3. (Всеросс., 1997, ОЭ, 10) Найдите положение центра масс системы касающихся друг друга шаров (рис.). Все шары имеют одинаковый диаметр a = 3 см, а их массы возрастают по закону: m₁ = m, m₂ = 3m, m₃ = 5m, ..., mN = (2N ? 1)m, где N = 500. Плотность каждого шара постоянна.

Задача 4. (МФТИ, 1984) Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра, прижатых друг к другу торцами. Оказалось, что центр масс такого стержня находится в стыковочном сечении. Цилиндры изготовлены из одинакового материала, но площадь сечения одного цилиндра в три раза больше площади сечения другого. Определить отношение длин цилиндров.

Задача 5. (Всеросс., 2014, ШЭ, 10) Две стороны проволочной рамки, имеющей форму равностороннего треугольника, сделаны из алюминиевой проволоки, а третья — из медной вдвое большего диаметра. Плотность меди считайте в три раза большей плотности алюминия. Определите, на каком расстоянии от середины медной проволоки находится центр тяжести системы, если сторона треугольника равна L.

Задача 1. Однородная плоская пластинка имеет форму круга (диск) радиусом R, из которого вырезан круг вдвое меньшего радиуса, касающийся первого круга. Определите положение центра тяжести пластинки с отверстием.

Задача 2. Кирпичи укладывают друг на друга без связующего вещества так, что часть каждого последующего кирпича выступает над нижележащим (рис.). На какое максимальное расстояние правый край верхнего кирпича может выступать над правым краем самого нижнего кирпича, служащего основанием для всей кладки? Длина каждого кирпича l.

Задача 3. Найти центр тяжести тонкой однородной проволоки, согнутой в виде полуокружности радиуса R.

Задача 4. Определите положение центра тяжести однородного тонкого полукруга радиуса R.

Задача 5. Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки, представляющей собой прямоугольник со сторонами rи 2 r, из которого вырезан полукруг радиуса r (рис.).