Задача 1. (Всеросс., 2019, МЭ, 7 ) Автомобиль, едущий по круговой трассе, проходит один круг со средней путевой скоростью v₁ = 30 км/ч и начинает новый круг. С какой постоянной скоростью он должен проехать второй круг для того, чтобы эта скорость оказалась в два раза больше средней путевой скорости за два круга?

Задача 2. (Всеросс., 2019, МЭ, 8 ) Три велосипедиста отправились из города A в город B. Из города A они выехали одновременно. Средняя скорость первого велосипедиста составила v₁ = 30 км/ч, второго — v₂ = 20 км/ч. Первый велосипедист прибыл в пункт назначения в 19:00, второй — в 20:00, а третий — в 21:00. Какова была средняя скорость третьего велосипедиста v₃?

Задача 3. («Максвелл», 2017, РЭ, 7 ) Во время Великой французской революции декретом конвента было введено «Десятичное время». Сутки от полуночи до полуночи делились на 10 десятичных часов, час — на 100 десятичных минут, а минута — на 100 десятичных секунд. Таким образом, полночь приходилась на 0 : 00 : 00, полдень — на 5 : 00 : 00 и т. п. Однажды курьер отправился из Парижа в Версаль, расстояние между которыми равно 5,2 лье, когда его новые десятичные часы показывали 3 : 56 : 78. Доставив важное донесение, он вернулся в Париж в 6 : 79 : 40. Определите среднюю путевую скорость курьера. Ответ выразите в привычных нам км/ч. Примечание: 1 лье равен 4 км.

Задача 4. («Максвелл», 2018, РЭ, 8 ) Автомобиль проехал треть пути со скоростью v = 46 км/ч. Затем четверть времени всего движения он ехал со скоростью, в полтора раза превышающей среднюю на всём пути. На последнем участке автомобиль ехал со скоростью 2v. Определите максимальную скорость автомобиля.

Задача 5. (Всеросс., 2017, МЭ, 8 ) Машина проехала расстояние L = 160 км от города до деревни за время T = 2 часа. Её скорость на первом, хорошем, участке пути была на ?v = 10 км/час больше средней скорости на всём пути, а на втором, плохом, участке — на ?v = 10 км/час меньше средней скорости на всём пути. Чему равна длина s плохого участка пути?

Задача 6.43. Букашка ползет вдоль оси Ox. Определите среднюю скорость ее движения на участке между точками с координатами x₁ = 1,0 м и x₂ = 5,0 м, если известно, что произведение скорости букашки на ее координату все время остается постоянной величиной, равной c = 500 см²/с.

Задача 7.64. Автобус проехал первую треть пути со скоростью 50 км/ч, а вторую – со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью ему нужно проехать оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость движения автобуса на всем маршруте была: а) <v> = 70 км/ч; б) <v> = 90 км/ч?

Задача 1. (Всеросс., 2019, ШЭ, 8 ) Катер пересёк прямую реку шириной 90 м, всё время поддерживая курс перпендикулярно течению. Чему равна средняя скорость катера относительно воды, если известно, что место прибытия катера на другой берег находится на 15 м ниже по течению от точки отправления? Скорость течения равна 1 м/с.

Задача 2. («Физтех», 2014, 7 ) Два мальчика прыгают с моста в речку и 2 мин плывут в разные стороны с одинаковой скоростью относительно воды, затем одновременно поворачивают и с прежней скоростью относительно воды плывут навстречу. На каком расстоянии от моста они встретятся? Скорость течения реки 1 м/с.

Задача 3. («Максвелл», 2018, РЭ, 7 ) Двигаясь вниз по реке, лодка под мостом обогнала плот. Через некоторое время она доплыла до пристани, быстро развернулась и с прежней относительно воды скоростью поплыла вверх по течению, где снова встретила плот на расстоянии S1 = 1100 м от моста. Если бы с момента первой встречи с плотом лодка плыла с вдвое большей скоростью относительно воды, то их вторая встреча произошла на расстоянии S2 = 600 м от моста. Определите, во сколько раз скорость лодки v больше скорости течения реки u и на каком расстоянии S от моста находится пристань.

Задача 4. («Максвелл», 2016, финал, 7 ) От пристани А к пристани Б вниз по течению реки стартует катер, а одновременно с ним по берегу — пешеход и велосипедист, которые движутся неравномерно. Капитану катера передаётся информация о скоростях движения пешехода и велосипедиста, и он, моментально реагируя, поддерживает скорость катера относительно воды равной среднему арифметическому скоростей пешехода и велосипедиста. К пристани Б катер прибывает одновременно с велосипедистом через время t = 30 мин после старта. Пешеход к этому моменту оказывается позади них на расстоянии S = 3 км. Определите скорость течения реки.

Задача 5. (Всеросс., 2013, МЭ, 7 ) От пункта A до пункта B можно добраться по реке и по старому руслу реки. Скорость течения в реке 5 км/ч, в старом русле вода стоячая. Рыбак должен съездить из пункта A в пункт B и вернуться обратно. Какой путь займёт у рыбака меньше времени — туда и обратно по реке или туда и обратно по старому руслу реки? Расстояния, проплываемые рыбаком, в обоих случаях одинаковые. В распоряжении рыбака имеются старая моторная лодка, которая может двигаться в стоячей воде со скоростью 8 км/ч, и новая моторная лодка, которая может двигаться в стоячей воде со скоростью 20 км/ч.

Задача 1. («Росатом», 2015, 7 ) Во время соревнований по автомобильным гонкам победитель, пройдя 60 кругов, обогнал второго призёра на два круга. Какова средняя скорость движения второго автомобиля, если средняя скорость первого равна 120 км/ч?

Задача 2. (Всеросс., 2014, МЭ, 7–8 ) Школьницы Алиса и Василиса бегут в одну сторону по кругу на спортивной площадке. Каждые 12 минут Алиса обгоняет Василису. Навстречу школьницам бежит пёс Рекс, который каждые 3 минуты встречается с Василисой. Через какой промежуток времени происходят встречи Рекса с Алисой?

Задача 3. (МОШ, 2015, 7–8 ) Три гоночных автомобиля участвуют в заезде по замкнутой гоночной трассе длиной 1 км. Красный автомобиль 10 минут двигался со скоростью 144 км/ч, а оставшееся время — со скоростью 180 км/ч. Зелёный автомобиль проехал 25 км со скоростью 144 км/ч, а оставшееся расстояние двигался со скоростью 180 км/ч. Синий автомобиль проезжает нечётные круги со скоростью 144 км/ч, а чётные — со скоростью 180 км/ч. Автомобили стартуют с одного места. Заезд длится 20 минут, автомобиль, проехавший наибольшее расстояние, объявляется первым, следующий за ним — вторым, и так далее. Автомобили движутся в одном направлении. Какое расстояние прошел каждый из автомобилей? Какой автомобиль прошел наименьшее расстояние?

Задача 4. (Всеросс., 2013, МЭ, 8 ) Три спортсмена-супермарафонца одновременно стартуют с одного и того же места кольцевой беговой дорожки и 10 часов бегут в одну сторону с постоянной скоростью: первый — 9 км/ч, второй — 10 км/ч, третий — 12 км/ч. Длина дорожки 400 м. Мы говорим, что произошла встреча, если либо два, либо сразу все три бегуна поравнялись друг с другом. Момент старта встречей не считается. Сколько всего «двойных» и «тройных» встреч произошло во время забега? Кто из спортсменов чаще всех участвовал во встречах и сколько раз?

Задача 5. (МОШ, 2015, 7 ) Часовая стрелка на больших башенных часах в самом широком месте имеет ширину H = 13 футов. Расстояние от концов отрезка такой ширины на часовой стрелке до оси циферблата часов равно L = 25 футов. Минутная стрелка на таком же расстоянии от оси циферблата имеет ширину h = 5 футов. Стрелки движутся плавно (без скачков). Определите, за сколько секунд минутная стрелка обгоняет часовую (во время обгона она частично закрывает часовую стрелку). Считается, что обгон начинается в момент, когда минутная стрелка начинает закрывать часовую стрелку в её самом широком месте, а заканчивается, когда стрелки перестают «перекрываться» в этом месте для наблюдателя, смотрящего на часы издалека. Для справки: длина окружности радиусом R равна 2?R, где ? ? 3,14

Задача 1. («Росатом», 2014, 7–8 ) В планетной системе вокруг звезды в одной плоскости и в одну сторону вращаются планеты Атлант и Кариатида. Между двумя ближайшими моментами времени, когда звезда, Атлант и Кариатида находятся на одной прямой, проходит 2,2 кариатидных лет. Сколько атлантских лет проходит между этими моментами? Указание. Период обращения (год) — время, за которое планета совершает полный оборот вокруг звезды.

Задача 2. (МОШ, 2007, 7 ) Марс удобнее всего изучать во время противостояния, когда Земля находится между Марсом и Солнцем. Определите, через какой промежуток времени повторяются противостояния Земли и Марса. Марс совершает оборот вокруг Солнца за 687 земных дней, а Земля — за 365 дней.

Задача 3. («Максвелл», 2014, 7 ) В момент противостояния Солнце, Земля и Марс находятся на одной прямой (Земля между Солнцем и Марсом). Продолжительность земного года T = 365 суток, марсианского — в k = 1,88 раз больше. Считая, что планеты обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам с общим центром, лежащим в одной плоскости, найдите минимальный промежуток времени ? между двумя последовательными противостояниями. Планеты движутся в одну сторону.

Задача 4.58. Как известно, Меркурий – ближайшая к Солнцу планета. Наиболее благоприятные условия для наблюдения этой планеты выполняются, когда Меркурий находится на максимальном угловом удалении от Солнца. В 1980 году такие условия в утренние часы выполнялись последовательно 1 января и 25 апреля. Определите период обращения Меркурия вокруг Солнца.

Задача 5.10. Каким было бы число дней в году, если бы Земля вращалась вокруг собственной оси или обращалась вокруг Солнца в противоположную сторону?

Задача 1. (Всеросс., 2017, МЭ, 7 ) На полный обгон теплоходом каравана барж потребовалось t₁ = 2 минуты, а катер обгонял теплоход t₂ = 1 мин. Какое время t₃ потребуется катеру на обгон каравана барж? Известно, что катер совсем маленький, а длина каравана в три раза больше длины теплохода. Все суда идут равномерно.

Задача 2. («Максвелл», 2017, РЭ, 7 ) Вдоль длинной дороги с постоянной скоростью на равных расстояниях друг от друга колонной ползут черепахи. Мимо стоящего Ахиллеса в минуту проползает n₁ = 5 черепах. Если Ахиллес побежит трусцой в сторону движения колонны, то он будет обгонять в минуту n₂ = 45 черепах, а если он поедет на велосипеде навстречу колонне, то в минуту ему будет встречаться n₃ = 105 черепах. Какое расстояние L успеет проползти черепаха за то время, за которое Ахиллес трусцой пробежит S = 100 м? Во сколько раз скорость Ахиллеса на велосипеде больше, чем при беге?

Задача 3. (Олимпиада Физтех-лицея, 2015, 7–8 ) Пролетев 4/9 расстояния между одуванчиком и ромашкой, пчела заметила догоняющего её шмеля. Если она полетит обратно, то они встретятся у одуванчика, а если продолжит лететь вперёд, то шмель догонит её у ромашки. Во сколько раз скорость шмеля больше скорости пчелы? Если ответ не целый, то округлить до целых.

Задача 4. («Курчатов», 2017, 7 ) Два авианосца движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями. Скорость первого авианосца 15 км/ч, скорость второго — 25 км/ч. В момент, когда расстояние между кораблями равно 100 км, с первого авианосца взлетает вертолёт и движется по прямой ко второму авианосцу со скоростью 175 км/ч. Долетев до второго авианосца, вертолёт совершает посадку, и, спустя некоторое время, возвращается на первый авианосец, вновь двигаясь со скоростью 175 км/ч. От момента, когда вертолёт долетел до второго авианосца, до момента, когда вертолёт покинул этот авианосец, прошло ровно 25 минут. Сколько времени вертолёт отсутствовал на первом авианосце? Найдите путь, пройденный вертолётом.

Задача 5. (Всеросс., 2009, РЭ, 8 ) Экспериментатор Глюк наблюдал за встречным движением скорого поезда и электрички. Оказалось, что каждый из поездов прошёл мимо Глюка за одно и то же время t₁ = 23 с. А в это время друг Глюка, теоретик Баг, ехал в электричке и определил, что скорый поезд прошёл мимо него за t₂ = 13 с. Во сколько раз скорый поезд длиннее электрички?

Задача 1. («Физтех», 2015, 7) Две машины — красная и синяя — одновременно начали движение в одном направлении вдоль одной прямой. График зависимости скоростей машин от времени приведён на рисунке. Какое максимальное расстояние было между машинами в процессе движения, если при старте красная опережала синюю на S = 1440 м? Ответ выразить в километрах, округлить до десятых.

Задача 2. («Физтех», 2014, 7) Два семиклассника после уроков решили устроить в поле пробежку по прямой дороге. Графики зависимости скорости от времени для первого и второго мальчика приведены на рисунке. Через какое время после старта один мальчик обгонит другого? Единицы измерения скорости остались известными только самим семиклассникам. А масштаб времени на графике дан в условных интервалах. Один интервал равен 40 секунд. Ответ дать в секундах, округлить до целых.

Задача 3. («Физтех», 2014, 7 ) На одной кондитерской фабрике провели исследование причин образования затора из конфет на ленте транспортёра перед упаковочной машиной. Оказалось, что в зависимости от концентрации конфет (их числа на 1 м длины ленты транспортёра) упаковочная машина автоматически корректирует скорость ленты, чтобы справиться с упаковкой. Исследователи свои результаты представили на графике зависимости скорости ленты от концентрации конфет на ней. Из графика видно, что при больших скоростях ленты упаковочная машина, из-за особенностей механизма срабатывания, успевает обрабатывать небольшие концентрации конфет. При больших концентрациях приходится скорость ленты сильно снижать и производительность конвейера падает. Какое максимальное количество конфет в минуту может обработать упаковочная машина? Масштаб по осям графика дан в условных единицах, кратных 0,2 м/с и 2 конфет/метр. Округлить до целых.

Задача 4. (МОШ, 2014, 7 ) По дороге едет колонна из n = 10 одинаковых автомобилей, расположенных друг за другом, со скоростью v = 54 км/ч. Длина каждого автомобиля равна L = 4,5 м, а расстояние между соседними автомобилями (дистанция) равно s = 25 м. Перед красным сигналом светофора первый автомобиль плавно останавливается. Водитель второго автомобиля начинает повторять действия водителя первого спустя время t = 1,6 с после того, как первый водитель начал торможение. Водитель каждого следующего автомобиля повторяет действие водителя предыдущего спустя такой же интервал времени. Какой станет длина l колонны, когда все автомобили остановятся?

Задача 5. (МОШ, 2014, 8 ) Перед светофором остановилась колонна из n = 10 одинаковых автомобилей, расположенных друг за другом. Длина каждого автомобиля равна L = 4,5 м, а расстояние между соседними автомобилями равно s = 1 м. После включения зелёного сигнала светофора первый автомобиль плавно разгоняется до скорости v = 54 км/ч и продолжает ехать с этой скоростью. Водитель второго автомобиля начинает повторять действия водителя первого спустя время t = 1,6 с после того, как первый водитель тронулся с места. Водитель каждого следующего автомобиля повторяет действие водителя предыдущего спустя такой же интервал времени. Какой станет длина l колонны, когда все автомобили будут двигаться с постоянной скоростью?

Задача 1. («Курчатов», 2018, 7 ) На графике представлена зависимость пройденного телом пути от его скорости. Определите среднюю скорость движения тела на всём пути.

Задача 2. (МОШ, 2018, 7 ) Тачки Молния Маккуин и Чико в очередной раз соревнуются на дистанции. В итоге, после напряжённой борьбы, Молния Маккуин оказался на финише через 50 минут после старта, опередив Чико. На рисунке представлен график, на котором показана разность расстояний ?S, которые преодолели тачки к моменту времени t. 1) Сколько раз за гоночный заезд обгонял Чико своего соперника? 2) На сколько различаются средние скорости движения тачек за 50 мин? 3) С какой скоростью ехал Молния Маккуин в течение первых 10 минут, если Чико в это же время ехал со скоростью 160 км/ч?

Задача 3. («Физтех», 2016, 7 ) Две машины одновременно начали движение по прямой дороге из Ардатова в Чамзинку. На одной машине регистратор записывал значения скорости в зависимости от пройденного расстояния. На другой регистратор фиксировал значение скорости в зависимости от времени движения. Результаты измерений приведены на двух графиках. Определите расстояние между машинами через 8 минут после начала движения. Ответ выразите в км, округлите до десятых.

Задача 4. (МОШ, 2008, 8 ) Заяц убегает от Волка по прямой, двигаясь равномерно. В начальный момент времени расстояние между Зайцем и Волком равно S = 36 м, а скорость Волка равна v₀ = 14 м/с. Волк устаёт и через каждые ?t = 10 с (в моменты времени ?t, 2?t, 3?t, . . . , считая от начала движения) уменьшает свою скорость на ?v = 1 м/с. С какой скоростью должен бежать Заяц, чтобы Волк его не поймал?

Задача 5. («Максвелл», 2017, финал, 8 ) Из деревни Простоквашино на велосипеде выехал почтальон Печкин. Через некоторое время вслед за ним на своём тракторе по имени Митя отправился в путь дядя Фёдор. Так как дядя Фёдор и Печкин планировали двигаться с постоянной скоростью, то им удалось рассчитать время и место предстоящей встречи. Неожиданно Митя сделал вынужденную техническую остановку (ему потребовалось «заправиться» в МакДоналдсе), после чего дядя Фёдор определил, что встреча с почтальоном состоится на 45 минут позже запланированной. Но и почтальон Печкин сделал непредсказуемую остановку и, продолжив движение, не зная об остановке дяди Фёдора, решил, что его догонят на 15 км ближе. Настоящая встреча показала, что в своих расчётах дядя Фёдор ошибся на полчаса, а Печкин — на 9 км. Определите скорости дяди Фёдора и Печкина.